Le consommateur cherche à acheter un panier de consommation choisi dans
l'ensemble des paniers de consommation
:
Choisir une panier de consommationqui est le meilleur selon les préférences, tout en respectant la contrainte que le coût total de
ne soit pas plus élevé que le revenu du consommateur.
La contrainte peut être exprimée assez simplement.
Soit
le vecteur des prix. Soit
le
revenu du consommateur.
Nous pouvons alors écrire la contrainte de revenu du consommateur comme étant
L'ensemble de budget du consommateur est alors donné par
En utilisant cette représentation de la contrainte et celle des
préférences, nous pouvons maintenant énoncer le problème du
consommateur
Que peut-on déjà dire sur la ou les solution(s) de ce problème?
Preuve : La partie
vient
du fait que dans ce cas l'ensemble de budget est compact et toute fonction
continue dans un compact atteint nécessairement un maximum. Mais ce
maximum n'est pas nécessairement unique. Partie
vient
du fait que la de budget est homogène de degré zéro avec les prix
et le revenu. La partie
vient du fait que l'ensemble de
budget est convexe (si
et
sont dans
alors
aussi) ainsi que les préférences. La partie
est trivial et implique que le consommateur va se placer
sur la frontière de
en cas de non-saturation.
La résolution analytique de ce problème de maximisation se fait normalement avec la méthode de Kuhn et Tucker.
Former le Lagrangien à partir de la fonction d'utilité, de la contrainte de budget et des conditions de positivité des quantités de biens.
On associe à chacune de ces contraintes une variable duale :
pour la contrainte de revenu
et
pour chaque bien
![]() |
(![]() |
Si est concave, alors
est concave et les conditions de premier ordre
sont aussi les conditions de second ordre:
Nous avons donc au total équations pour résoudre
variables
.
Les variables duales sont nécessairement non-négatives (sinon elles ne
pénaliseraient pas l'objectif par le non-respect de la contrainte
correspondante):
.
La condition
peut alors être écrite de la
manière suivante
Nous allons de plus supposer, pour simplifier le problème, que les prix sont strictement positifs.
La condition
devient alors
Donc pour les biens dont les quantités consommées sont positives, le consommateur égalise leur utilité marginale pondérée par leur prix et ce ratio est plus grand pour ces biens que pour les biens dont la consommation est nulle.
Si nous savons que alors nous pouvons réécrire cette
condition de manière plus habituelle
Si est différentiable et concave, ces conditions sont suffisantes pour
déterminer l'optimum du consommateur (avec
).