3.1 Hasard moral et incitations

Nous allons étudier les implications d'une situation de hasard moral en élaborant l'exemple simple d'un contrat de travail en vue de réaliser la production d'un bien.

Pour ces types de contrats en information asymétrique on distingue en général les deux parties en se basant sur l'information dont elles disposent :

La partie la moins informée (celle qui possède l'information la moins fine) est appelée le principal et l'autre partie, l'agent.

Dans notre exemple, il va s'agir d'un contrat entre un manager (le principal) et un employé (l'agent).

Considérons le problème de production suivant où la valeur monétaire de l'output est donnée par $q\left( e\right)$ avec $e$ représentant l'effort fourni par l'employé dans la production $\left( q^{\prime}>0, q^{\prime\prime}<0\right)$.

Les préférences de l'agent sont représentées par la fonction d'utilité $U\left( e,w\right)$ où $w$ est le salaire perçu dans le cadre du contrat de travail, avec

$$\frac{\partial U}{\partial e}<0$$ et $$\frac{\partial U}{\partial w}>0\text{.}$$

L'utilité de réserve de l'agent (sa satisfaction en l'absence de travail) est $u$.

L'utilité du principal est représentée par la fonction $V\left( q-w\right)$ avec $V^{\prime}>0$ et donc

$$\frac{\partial V}{\partial w}<0$$ et $$\frac{\partial V}{\partial q}>0\text{.}$$

La relation d'emploi se déroule de la manière suivante :

1. le principal offre à l'agent le contrat correspondant au salaire $w;$

2. l'agent décide s'il accepte le contrat;

3. s'il accepte le contrat, l'agent fournit l'effort $e;$

4. la production correspondante, $q\left( e\right)$ se réalise.

Information : Le principal connaît $u$ et il observe parfaitement l'effort fourni par l'agent et l'output résultant.

Pour ne pas tomber dans un cadre où une négociation entre les deux parties pourrait avoir lieu, imaginons que le principal propose le contrat à une ensemble d'agents qui se font concurrence pour obtenir le travail (il est possible d'imaginer la situation inverse où ce sont des principaux qui se font concurrence).

Par conséquent, si l'agent refuse le contrat, les gains sont $\pi^{A}=u$ et $\pi^{P}=0.$

Si l'agent accepte et fournit l'effort $e,$ les gains sont $\pi^{A}=U\left( e,w\right)$ et $\pi^{P}=V\left( q-w\right) .$

Le contrat proposé sera donc une relation entre le salaire et l'effort, $w\left( e\right)$, ce qui n'exclue pas a priori un salaire constant.

L'objectif du principal est de proposer le contrat qui incite l'agent à fournir le plus grand effort possible avec le coût salarial le plus faible possible.

Étant donné que l'agent fait concurrence à d'autres travailleurs pour obtenir l'emploi, il acceptera de travailler si son utilité $U\geq u$.

Sachant cela, le principal va proposer le contrat $w\left( e\right)$ tel que l'agent soit juste indifférent entre participer à la relation où laisser la place à quelqu'un d'autre.

Ce qui donne la contrainte de participation de l'agent :

$$U\left( e,w\left( e\right) \right) =u$$ (CP1)

Le principal cherche alors à obtenir de l'agent l'effort qui maximiserait ses gains $\left( \pi^{P}\right)$ en tenant compte de cette contrainte.

Nous pourrions donc formuler son problème comme suit

$$% latex2html id marker 8215 %% \begin{array}[c]{cc} \max_{e,... ...,w\right) =u & \;\;\;\left( \ref{contpart1} \right) \end{array}$$

ou, en utilisant directement la relation $w\left( e\right)$ qui résulte de la résolution de $\left( \ref{contpart1}\right)$

$$\max_{e}V\left( q\left( e\right) -w\left( e\right) \right)$$ (3.1)

La condition de premier ordre de ce problème est

$$\frac{d\pi^{P}}{de}=V^{\prime}\cdot\left( \frac{\partial q}{\part... ...right) =0\Rightarrow\frac{\partial w}{\partial e}=\frac{\partial q}{\partial e}$$ (3.2)

puisque nous avons $V^{\prime}>0$.

Or, en différenciant l'équation  $\left( \ref{contpart1}\right) ,$ nous avons (le théorème des fonctions implicites)

$$\frac{\partial w}{\partial e}=-\dfrac{\dfrac{\partial U}{\partial e}} {\dfrac{\partial U}{\partial w}}$$ (3.3)

En combinant cette condition avec la précédente  $\left( \ref{cnp1}\right) ,$ nous obtenons la condition

$$-\dfrac{\dfrac{\partial U}{\partial e}}{\dfrac{\partial U}{\parti... ...ial U}{\partial w}\frac{\partial q}{\partial e}=-\dfrac{\partial U}{\partial e}$$ (3.4)

qui implique que l'effort optimal $e^{\ast}$ doit établir un compromis entre les deux objectifs de telle sorte que la productivité marginale de l'effort, pondérée par l'utilité marginale du salaire compense juste la désutilité de cet effort. Le salaire d'équilibre sera alors donné par $w^{\ast}=w\left( e^{\ast}\right)$.

Cette solution peut donc être représentée de la manière suivante

Le principal doit donc proposer un contrat $w\left( e\right)$ qui doit inciter l'agent à fournir l'effort $e^{\ast}$.

Nous ne pouvons analytiquement préciser plus ce contrat sans plus spécifier les données du problème.

Mais nous pouvons remarquer que les trois exemples suivants de contrats sont tous efficaces.

1. Le contrat de force donne $w\left( e^{\ast}\right) =w^{\ast}$ et $w\left( e\neq e^{\ast}\right) =0$.

2. Le contrat à seuil donne $w\left( e\geq e^{\ast}\right) =w^{\ast}$ et $w\left( e<e^{\ast}\right) =0$.

3. Le contrat linéaire donne $w\left( e\right) =\alpha+\beta e$ avec $\alpha$ et $\beta$ choisis de manière à obtenir $w^{\ast }=\alpha+\beta e^{\ast}$ et un point de tangence avec la courbe d'indifférence de l'agent $U=u$ en $e^{\ast}$.

Ces trois propositions conduiront l'agent à accepter le contrat et de fournir, de manière optimale pour lui, l'effort $e^{\ast}$.

Spécifions plus cet exemple pour étudier la manière dont on peut calculer le contrat optimal de salaire.

Nous allons donc supposer : $e\in\left[ 0,\infty\right] ,$ $q\left( e\right) =100\log\left( 1+e\right) ,$ $u=3,$ $U\left( w,e\right) =\log\left( w\right) -e^{2},$ $V\left( q-w\right) =q-w.$

Le contrainte de participation  $\left( \ref{contpart1}\right)$ devient alors $\log\left( w\left( e\right) \right) -e^{2}=3.$

Ce qui implique la fonction de salaire

$$w\left( e\right) =Exp\left( 3+e^{2}\right)$$ (3.5)

Le problème du principal devient alors

$$\max_{e}V\left( q\left( e\right) -w\left( e\right) \right) =100\log\left( 1+e\right) -Exp\left( 3+e^{2}\right)$$ (3.6)

qui implique la condition de premier ordre

$$\frac{d\pi^{P}}{de}=\frac{100}{1+e}-2eExp\left( 3+e^{2}\right) =0$$

dont la solution est : $e^{\ast}=0.772 79\simeq0.773.$ $q\left( e^{\ast }\right) =57.26$ et $w\left( e^{\ast}\right) =36.51.$

Nous observons que

$$U\left( w\left( e^{\ast}\right) ,e^{\ast}\right) =\log\left( Exp\left( 3+e^{2}\right) -e^{2}\right) =3=u.$$

Par ailleurs : $V\left( q\left( e^{\ast}\right) -w\left( e^{\ast}\right) \right) =20.75.$

Le contrat linéaire optimal qui implementerait cette solution serait alors donné par

$$w^{\ast} =36.51=\alpha+\beta e^{\ast}$$

$$\frac{\frac{\partial U}{\partial e}}{\frac{\partial U}{\partial w}}\left( w^{\ast},e^{\ast}\right) =\frac{dw}{de}\left( e^{\ast}\right) =2e^{\ast}Exp\left( 3+e^{\ast2}\right) =\fbox{$56.44=\beta$}$$

$$w\left( e^{\ast}\right) =36.51=\alpha+56.44\cdot0.773\Leftrightarrow \fbox{$\alpha\approx-7$}.$$

Le principal proposera donc le contrat $w\left( e\right) =-7+56.44e$.

L'agent acceptera ce contrat et fournira l'effort optimal $e^{\ast}=0.773$ en maximisant son utilité.

Ne pourrait-on pas imaginer que le principal propose juste un contrat constant avec un niveau adéquat de salaire $w^{\ast}$?

Cela revient à considérer un problème où le principal n'a pas les moyens de lier le salaire à l'effort ou au produit.

En effet, du point de vue du droit, le respect d'un contrat ne peut être jugé que si un tiers (un expert, un juge) peut évaluer les termes du contrat.

On pourrait par conséquent imaginer que le contrat ne puisse se baser sur l'effort (par définition assez difficile à évaluer) ou sur l'output (qui peut être difficile à observer pour un tiers ne prenant part à la firme).

Nous aurions alors un problème légèrement différent du précédent.

La relation d'emploi se déroule de la même manière que précédemment.

Information : Le principal connaît $u$ mais il ne peut observer l'effort fourni par l'agent ou l'output résultant.

Le résultat de ce problème est en fait assez simple mais inefficace : si le salaire est positif l'agent accepte le contrat et fournit un effort nul. Sachant cela le principal propose un salaire nul.

Cela provient du fait que l'impossibilité de faire dépendre le contrat sur l'effort ou la production empêche en fait la construction optimale d'un contrat et par conséquent, ce problème d'agence ne peut être résolu.

Pour observer qu'il est suffisant de faire dépendre le contrat sur l'un des deux variables ($e$ ou $q$), considérons le problème suivant.

La relation d'emploi se déroule de la même manière que précédemment.

Information : Le principal connaît $u$. Il ne peut observer l'effort fourni par l'agent mais il peut observer l'output résultant.

Alors il peut proposer un contrat dépendant de $q$, $w\left( q\right)$.

Pour construire un contrat optimal, il va d'abord déterminer le niveau d'effort optimal pour lui, $e^{\ast}$.

Il va ensuite utiliser le fait que cet effort est optimal car il correspond à un niveau de production optimal : $q^{\ast}=q\left( e^{\ast}\right)$.

Pour donner à l'agent les incitations adéquates, le contrat doit le récompenser quand la production est égale à $q^{\ast}$.

Un contrat de force pourrait par exemple être construit de sorte que $U\left( e^{\ast},w\left( q^{\ast}\right) \right) =u$ et $U\left( e,w\left( q\neq q^{\ast}\right) \right) <u$.

Par conséquent, l'incapacité à observer l'effort n'est pas un problème en soi tant que le contrat peut être basé sur une variable observable et parfaitement corrélée avec l'effort.

Le vrai problème d'agence apparaît quand cette corrélation n'existe pas. C'est ce que nous allons considérer maintenant.

La relation d'emploi se déroule de la même manière que précédemment.

Information : Le principal connaît $u$. Il ne peut observer l'effort fourni par l'agent mais il peut observer l'output résultant. Mais l'output dépend non seulement de l'effort mais aussi de l'état du monde qui s'est réalisé : $q=q\left( e,\theta\right)$ avec $\theta\in\mathbb{R}$. $\theta$ est choisi par la Nature, juste après le choix par l'agent de l'effort à fournir, selon une distribution $f\left( \theta\right)$.

L'agent ne connaît pas l'état de la Nature qui va se réaliser au moment où il fait le choix.

Il ne peut par conséquent se contenter de choisir un effort faible sachant que la Nature pourvoira à la production (sinon nous aurions en plus un problème d'information cachée).

Nous aurions ce genre de problème si, par exemple, le processus de production n'était pas parfaitement maîtrisé.

Maintenant, le principal qui observe la production $q$ ne peut en déduire l'effort effectivement fourni par l'agent puisque nous pouvons avoir plusieurs combinaisons $\left( e,\theta\right)$ qui donnent exactement le même niveau de production.

Étant donné l'incertitude, la contrainte de participation doit être considérée en termes d'espérance d'utilité : l'utilité espérée de l'agent ne doit pas être inférieure à $u$.

Par conséquent, si le salaire est plus faible quand $q\neq q^{\ast},$ il doit être bien plus fort dans le cas où $q=q^{\ast}$, de manière à respecter cette contrainte.

Si de plus l'agent a de l'aversion contre le risque, son salaire doit être plus fort que $w^{\ast}$ obtenu dans les problèmes $I$ et $II$ car il doit être récompensé pour le risque qu'il prend en fournissant un effort optimal (ils risque d'être quand même mal payé si $\theta$ est très faible).

Le contrat optimal doit donc établir un compromis entre l'incitation et l'assurance contre le risque.

La présence de ce risque et donc de ce besoin d'assurance, met en cause l'optimalité parétienne des contrats.

On traduit cela en distinguant deux types d'optimalité pour les contrats :

Définition 21  

• Un contrat de premier choix (first-best) permet d'atteindre la même allocation que quand le principal et l'agent possèdent la même information et que toutes les variables peuvent être intégrées dans un contrat (elles sont observables et vérifiables).

• Un contrat de second choix (second-best) est un optimum de Pareto étant données l'information asymétrique et les contraintes qui pèsent sur l'écriture du contrat.

La différence entre la première et la seconde allocation correspond au coût social du problème l'agence.

Nous allons maintenant considérer une approche qu'on pourrait utiliser pour résoudre ce problème.

L'objectif du principal dans ce problème est de maximiser son utilité espérée sachant que l'agent a la possibilité de refuser tout contrat qui donne moins que son utilité de réservation (la contrainte de participation - CP) et que le contrat doit l'inciter à fournir l'effort optimal (la contrainte d'incitation-CI)$.$

Le problème du principal peut alors être formulé comme suit.

$$\max_{e,w\left( .\right) }E_{\theta}V\left( q\left( e,\theta\right) -w\left( q\left( e,\theta\right) \right) \right)$$ (3.7)

sous les contraintes

$$\begin{array}[c]{lll} e=\arg\max_{e}E_{\theta}U\left( e,w\lef... ...ght) \right) \right) \geq u & \; & \left( CP\right) \end{array}$$ (3.8)

où

$$E_{\theta}V\left( q\left( e,\theta\right) -w\left( q\left( e,\the... ...-w\left( q\left( e,\theta\right) \right) \right) f\left( \theta\right) d\theta$$

La contrainte $\left( CI\right)$ vient du fait que l'agent prend sa décision en fonction du contrat et le contrat doit l'inciter à fournir l'effort optimal pour le principal tout en respectant l'optimalité de ce choix pour l'agent (pour cette raison, on l'appelle parfois la contrainte de compatibilité des incitations).

La contrainte $\left( CP\right)$ traduit le fait que l'agent doit préférer ce contrat aux autres activités possibles. On l'appelle aussi parfois la contrainte de rationalité individuelle.

Le problème  $\left( \ref{objp3}\right)$ n'est pas facile à résoudre car sa solution est une fonction (l'objectif est donc un fonctionnel - mais cela n'est pas une difficulté en soi car c'est l'objet même des méthodes de contrôle optimal) qui doit être choisi dans un espace de fonctions (défini par les contraintes) qui n'est pas nécessairement bien formé et qui peut donc contenir des fonctions de salaire complexes (dépendant notamment des propriétés de la fonction de densité $f\left( .\right)$).

Une méthode de résolution alternative (proposée par Grossman et Hart (1983)) consiste à décomposer ce problème.

1. Déterminer, pour tout niveau d'effort, les contrats de salaire qui incitent l'agent à choisir ce niveau d'effort.

2. Déterminer le contrat de salaire qui permet d'atteindre chaque niveau d'effort au coût le plus faible possible pour le principal.

3. Déterminer le niveau d'effort qui maximise l'utilité du principal sachant qu'il va être soutenu par le contrat coûteux correspondant qui a été déterminé pour ce niveau d'effort dans l'étape précédente.

Pour soutenir le niveau d'effort $e$, le contrat de salaire doit respecter les contraintes de participation et d'incitation.

Mathématiquement, trouver le contrat le moins cher $C\left( e\right)$ qui supporterait l'effort $e$ revient à résoudre le problème suivant, en combinant les étapes 1 et 2

$$C\left( e\right) =\min_{w\left( \cdot\right) }E_{\theta}w\left( q\left( e,\theta\right) \right)$$ (3.9)

sous les contraintes  $\left( \ref{contpart2}\right)$.

L'étape 3 correspond alors à la résolution du problème transformé du principal

$$\max_{e}E_{\theta}V\left( q\left( e,\theta\right) -C\left( e\right) \right)$$ (3.10)

La résolution de ce dernier problème détermine l'effort optimal et le principal propose alors le contrat $C\left( e\right)$ à l'agent.

En plus de permettre la résolution du problème initial, cette décomposition a l'avantage de faire apparaître que l'objectif du contrat est d'inciter à fournir un niveau d'effort optimal et que, du fait de la présence de l'information asymétrique, cette incitation possède un coût. D'où la distinction entre les deux critères d'optimalité sociale.