7.5  Application : Généraliser l’optimisation des fonctions à une variable par AG

1. Sélection via une roulette : On produit une nouvelle population $P_{t+1}$ en tirant aléatoirement $N$ nouveaux chromosomes à partir de la population initiale $P_{t}$ où chaque chromosome $l$ a une probabilité d’être tiré qui est égale à $f_{l}$ . Si $f_{j}>f_{k}$ , alors $C_{j}$ aura tendance à être reproduit dans plus d’exemplaires que $C_{k}$ dans la population $P_{t+1}$ . La sélection par roulette correspond à une probabilité, pour chaque chromosome, d’être reproduite dans la génération suivante selon son fitness comparé au fitness moyen dans la population $P$ actuelle : $$P_{l}\equiv\frac{f_{l}}{\sum_{j=1}^{N}f_{j}}$$
2. Croisements de valeurs réelles : Chaque chromosome $C_{j}$ dans $P_{t+1}$ aura la possibilité de participer à un croisement, selon une probabilité $p_{C}$ . Si le tirage aléatoire (uniforme) décide qu’il peut bénéficier d’un croisement, alors on tirera aléatoirement un autre chromosome $C_{k\neq j}$ et ces deux chromosomes donneront deux descendants, $C_{m}$ et $C_{n}$ , selon la méthode de croisement retenue. Par exemple, par le croisement via la moyenne que nous retiendrons ici, nous remplacerons $C_{l},C_{k}$ simplement par $$C_{m}=C_{n}=\left[\frac{x_{j}+x_{k}}{2}\quad\frac{f_{j}+f_{k}}{2}\right]$$
3. Mutations de valeurs réelles : De même; chaque chromosome $C_{l}$ peut subir aléatoirement une mutation, selon un tirage uniforme effectué avec une probabilité de réalisation de mutation $p_{M}$ . Si le tirage décide que la mutation a lieu alors, $C_{l}$ est modifié : $$x\rightarrow x_{l}',f_{l}\rightarrow f_{l}'$$ où ces nouvelles valeurs sont tirées de deux tirages uniformes, $x_{l}'\rightsquigarrow U\left(x_{min},x_{max}\right)$ , $f_{l}'\rightsquigarrow U\left(0,1\right)$ .
4. La nouvelle population étant maintenant composée, on recalcule les fitness de chaque chromosome dans $P_{t+1}$ et nous pouvons recommencer. On calcule aussi le fitness moyen et la valeur moyenne de la fonction $F\left(\cdot\right)$ dans la population pour représenter ces valeurs dans des graphiques dédiés (voir ci-dessous).

• Un champs de texte Fonction dans lequel la fonction à maximiser sera indiquée dans le langage NetLogo.
• Le domaine de recherche : un champs de texte de type numérique pour la valeur minimale de $x$ , xMin et et un autre pour sa valeur maximale xMax. Si ces valeurs ne respectent pas le domaine de définition de $F$ , cela générera des erreurs.
• Les paramètres de cet AG très simple :
  • La taille de la population $P$ : taillepop ($=N$ , curseur dans $\left[5,40\right],pas=1$ )
  • Les probabilités de croisement et de mutation : probCroisement ($=p_{C}$ , curseur dans $\left[0,0.5\right],pas=0.01$ ) et probMutation ($=p_{M}$ , curseur dans $\left[0,0.1\right],pas=0.01$ )
  • Le domaine de recherche fixé par ses bornes min-x et max-x.
• Un graphique montrant l’évolution du fitness moyen (moyenne-fitness) dans la population
• Un graphique montrant l’évolution des valeurs moyenne (moyenne-valeur) et maximale (max-valeur) de la fonction dans la population.
• Un moniteur indiquant la valeur de x donnant la valeur la plus élevée dans la population actuelle pour la fonction à optimiser et un autre qui donne cette valeur maximale (max-valeur)
• Un bouton Setup qui exécutera la commande setup qui va initialiser l’application et créera la population initiale $P_{0}$ en tirant les chromosomes de manière aléatoire, en utilisant les mêmes distributions que pour les mutations.
• Un bouton Go! qui va lancer la commande go qui va exécuter l’AG de générations à générations jusqu’à ce que l’utilisateur clique encore une fois sur ce bouton pour arrêter les calculs.

• Mettre les probabilités de croisement et de mutation à zéro, montrera la rôle de la sélection seule. Vous pouvez activer le bouton SETUP pour générer une nouvelle population et observer.
• Mettre la probabilité de mutation à zéro, montre ce que peuvent accomplir les opérations de sélection et de croisement ensemble. Vous pouvez alors modifier la probabilité de croisement pour observer son importance.
• De manière symétrique, mettre la probabilité de croisement à zéro, vous permettra d’étudier le rôle de la mutation seule avec la sélection et l’effet de sa probabilité en changeant cette dernière.
• Etudiez aussi le rôle de la taille de la population dans ces différents cas.
• Vous pouvez expérimenter avec ces éléments pour différentes fonctions, plus ou moins difficiles à optimiser.