Le modèle de Nelson & Winter :
Concurrence et progrés technique

Sources :

• Nelson & Winter (1982), chap 12 (N&W par la suite).

• Winter (1984).

• Andersen (1994), chap.4.

Modélisation de l'évolution de l'industrie avec innovation et imitation globale.

Trois principaux blocs:

1.

Comportements sur le marché : offres, demande, prix de marché, profits;

2.

Changement technique : innovation et imitation (stochastiques), productivités;

3.

Equations de transition : investissement, dépréciation et stock de capital.

Offre individuelle:

$$Q_{it}=A_{it}.K_{it}$$

$A_{it}:$ productivité du capital ( $1/A_{it}$ : coefficient de capital) de la firme $i$ à la période $t$,
$K_{it}$ : stock de capital de la firme $i$ à la période $t$.

• Le capital est le seul facteur de production.

• Rendements d'échelle constants.

• La valeur de $A_{it}$ sera modifiée par le progrès technique (bloc 2).

Offre totale:

$$Q_{t}=\sum_{i=1}^{n}Q_{it}=\sum_{i=1}^{n}A_{it}.K_{it}.$$

($n$ firmes sur le marché)

Demande et prix:

$$p_{t}=D\left( Q_{t}\right) =67/Q_{t}\,\,$$

Taux Profit :

$$\pi_{it} =p_{t}A_{it}-c-r_{im}-r_{in}$$

$$=\frac{67}{\sum A_{it}K_{it}}A_{it}-c-r_{im}-r_{in}$$

Profits :

$$\Pi_{it}=\pi_{it}.K_{it}$$

Chez Nelson & Winter, $r_{in}$ et $r_{im}$ sont initialisés de manières à garder le même niveau de dépense en R&D pour les différentes simulations et donc pour les différentes valeurs de autres paramètres.

Le capital $\left( K_{0}\right)$ aussi est initialisé selon cette règle et de manière à avoir un investissement désiré (bloc 3) initial nul.

Cela nous donne le tableau de valeurs (extrait de N&W) suivant:

$$% \begin{tabular}[c]{c\vert\vert cc} & \multicolumn{2}{\vert\vert... ... & 0.00097\\ $r_{in}$\ & 0.0223 & 0.0194\\ $c$\ & 0.16 & 0.16 \end{tabular}$$

La productivité des firmes est modifiée à chaque période par le biais de leur innovations et apprentissages.

L'innovation est un processus stochastique en deux étapes :

• On fait d'abord un tirage pour déterminer si la firme a ``réalisé'' une innovation
  $$P\left[ d_{int}=1\right] =a_{n}\underset{% \begin{array}[c]{... ...D}} \end{array}}{\underbrace{r_{in}K_{it}}}=0.125r_{in}K_{it},$$

• si oui, on fait un second tirage pour déterminer la résultat de l'innovation

  $$\tilde{A}_{it} \leadsto F\left( A;t,A_{it}\right) ,($$

  $$\log\left( \tilde{A}_{it}\right) \leadsto\aleph\left( \lambda\left( t\right) ,\sigma^{2}\right) \,$$

  $$\,\,\lambda\left( t\right) =0.16+0.01t\,\, \sigma=0.05.$$

  
  
  $\lambda\left( \cdot\right)$ représente l'évolution latente de la productivité qui provient de l'activité de la R&D réalisée en dehors de l'industrie en question. Cette spécification correspond à une situation où l'innovation est surtout basée sur la science (car indépendante de $A_{it-1}$).

Andersen propose une version simplifée de cette règle :

$$\tilde{A}_{it}\leadsto\left( \bar{A}_{t-1},\sigma^{2}\right)$$

qui est de nature différente (car incrémentale).

Dans le cas proposé par Andersen, on tire d'abord une variable de Poisson pour le premier tirage :

$$\lambda_{n}\leadsto P\left( a_{n}r_{in}K_{it}\right) ,$$   innovation si $$\lambda_{n}>0.$$

On tire ensuite une variable normale : $\tilde{A}_{it}\leadsto\left( \bar {A}_{t-1},\sigma^{2}\right)$ et on vérifie si cette innovation permet d'améliorer la productivité dans l'espace des technologies (search space) :

$$[0.05,0.063,0.111,0.16,0.206,0.292,0.297,0.363,0.375,0.403,$$

$$0.426,0.441,0.558,0.675,0.718,0.843,0.846,0.917,0.981]$$

On accorde donc à la firme la productivité qui est juste supérieur à $\tilde{A}_{it}.$

Pour l'imitation, nous avons un seul tirage qui détermine le droit de la firme à imiter. Si l'imitation est réussie alors la firme obtient la meilleure technologie de l'industrie sans aucun coût supplémentaire:

$$P\left[ d_{imt}=1\right] =a_{m}\underset{% \begin{array}[c]{... ...&D}} \end{array}}{\underbrace{r_{im}K_{it}}}=1.25r_{im}K_{it}.$$

De nouveau, Andersen propose une version basée sur la Loi de Poisson

$$\lambda_{m} \leadsto P\left( a_{m}r_{im}K_{it}\right) ,$$

$$\lambda_{m}>0 \quad\hat {A}_{it}=\max\left( A_{it}\right) _{i=1..n}$$    imitation

$$\hat{A}_{it}=0.$$

Finalement, la productivité de la firme est donnée par la meilleure des trois possibilités :

$$A_{i,t+1}=\max\left\{ A_{it},\tilde{A}_{it},\hat{A}_{it}\right\}$$

Cette équation appartient en fait au bloc 3 car elle détermine la dynamique des productivités.

L'autre composante de la dynamique est donnée par l'investissement des firmes et l'évolution de leur capital.

$$K_{i\left( t+1\right) }=I\left( \frac{p_{t}A_{i\left( t+1\right) ... ...c{Q_{it}}{Q_{t}},\pi_{it},\delta\right) .K_{it}-\left( 1-\delta \right) K_{it}$$

où

• le dernier terme représente la dépréciation du capital,

• $\pi_{it}$ représente la contrainte de financement de la firme. N&W considère aussi un financement possible par le secteur bancaire. Le taux d'in ves tissement possible est alors donné:
  $$I_{p}=\left\{ \begin{array}[c]{ll} \delta+\pi & \text{pour }... ...q0,\\ \delta+BANK.\pi & \text{pour }\pi>0 \end{array}\right.$$

  ils ont alors $\delta=0.03$ et deux cas : $BANK=1$ et $BANK=2.5$ . Le financement de $\delta$ est relativement mystérieux dans le premier cas de taux de profit négatif.

• le premier terme représente un comportement de type cournotien car la firme vise à ajuster sont stock de capital de manière à approcher sa production de la production de Cournot:
  $$I_{d}=1+\delta+-\dfrac{\dfrac{\varepsilon}{\varepsilon-\dfrac{Q_{... ...\dfrac{p_{t}A_{it}}{c} =\dfrac{\varepsilon}{\varepsilon-\dfrac{Q_{it}}{Q_{t}}}$$
  et cette dernière égalité est une variante de la condition d'optimalité de l'output dans un duopole de Cournot. $\varepsilon$ représente l'élasticité de la demande et elle est égale à $1$ chez N&W. $\dfrac{Q_{it}}{Q_{t}}$ est la part de marché de la firme $i$.

Finalement, le taux d'investissement est donné par :

$$I=\max\left\{ 0,\min\left\{ I_{d},I_{p}\right\} \right\} ,$$

toute possibilité de désinvestissement est exclue du modèle puisque l'investissement possible et l'in ves tissement désiré contient tous les deux $\delta.$

Les deux équations dynamiques de transition du modèle sont donc :

$$A_{i,t+1} =\max\left\{ A_{it},\tilde{A}_{it},\hat{A}_{it}\right\}$$

$$K_{i\left( t+1\right) } =\left[ \max\left\{ 0,\min\left\{ I_{d} ,I_{p}\right\} \right\} -\left( 1-\delta\right) \right] K_{it}$$

Il s'agit d'équations récurrentes stochastiques non-stationnaires.

Par conséquent, il n'est pas possible de résoudre le modèle analytiquement et on est obligé de procéder par simulations pour étudier le comportement de ce système.