D.3 Maximum de Pontryagin

$$\max_{c_{t}}U_{0}=\int_{0}^{\infty}u\left( c_{t}\right) \cdot e^{-\theta t}\cdot dt$$ (D.6)

$$\dot{k}_{t} =f\left( k_{t}\right) -c_{t}-nk_{t}$$ (D.7)

$$k\left( 0\right) =k_{0}$$ (D.8)

$$\forall t,\;k_{t} \geq0,c_{t}\geq0$$ (D.9)

Quand on considère l'évolution dynamique de cette économie, à chaque moment du temps, l'état du système peut être décrit avec $k.$ Cette variable est donc la variable d'état. L'évolution de cette variable est donnée par $\dot{k}_{t}$ et elle est déterminée d'une part par l'état $\left( k_{t}\right) ,$ mais d'autre part, par une autre variable qui la commande $c_{t}.$ $c_{t}$ est donc la variable de commande. La contrainte  $\left( \ref{C1}\right)$ nous donne la manière dont la commande influence l'évolution de l'état de ce système. C'est pour cette raison qu'on l'appelle l'équation de mouvement ou l' équation d'état. La contrainte  $\left( \ref{C2}\right)$ tient compte de l'état initial de ce système. La résolution de ce système revient à chercher une commande optimale, $c^{\ast}\left( t\right) ,$ qui maximise l'utilité des agents à chaque moment du temps : c'est une fonction du temps. La valeur optimale de cet objectif sera donc donnée par :

$$U_{0}^{\ast}=\int_{0}^{\infty}u\left( c^{\ast}\left( t\right) \right) \cdot e^{-\theta t}\cdot dt.$$

On résout ce type de problème de maximisation d'un fonctionnel (=fonction de fonctions) sous contrainte en utilisant une transformation proche du Lagrangien : le Hamiltonien. On construit une nouvelle fonction objectif qui intègre aussi la contrainte mais en la multipliant par un prix implicite qui est similaire au multiplicateur de Lagrange. Mais ce multiplicateur varie avec le temps : $\mu_{t}.$ On obtient alors le Hamiltonien associé à ce problème :

$$H_{t}=u\left( c_{t}\right) e^{-\theta t}+\mu_{t}\cdot\left( \underset {\dot{k}}{\underbrace{f\left( k_{t}\right) -c_{t}-nk_{t}}}\right)$$ (D.10)

La variable $\mu$ est le prix implicite associé à la variable d'état $k.$ Elle nous donne la valeur marginale actualisée au moment 0 d'une unité de capital supplémentaire au moment $t.$ Il est souvent plus aisé de travailler de travailler avec la valeur marginale courante au moment $t$ de cette unité de capital :

$$\lambda_{t} \equiv\mu_{t}\cdot e^{\theta t}\Leftrightarrow\mu_{t} =\lambda_{t}\cdot e^{-\theta t}$$

$$\Rightarrow\dot{\lambda}=\dot{\mu}\cdot e^{\theta t}+\theta\mu\cdot e^{\theta t}=\dot{\mu}\cdot e^{\theta t}+\theta\lambda$$ (D.11)

En remplaçant $\mu$ par $\lambda$ dans  $\left( \ref{H0}\right) ,$ nous obtenons :

$$H_{t}=e^{-\theta t}\cdot\left[ u\left( c_{t}\right) +\lambda_{t} \cdot\left( f\left( k_{t}\right) -c_{t}-nk_{t}\right) \right]$$ (D.12)

Nous allons résoudre ce problème en négligeant les conditions de positivité sur $k$ et $c$. Les conditions nécessaires (et suffisantes étant données les propriétés de ces fonctions) seront alors données par :

$$\frac{\partial H}{\partial c} =0$$

$$\frac{d\mu}{dt} \equiv\dot{\mu}=-\frac{\partial H}{\partial k}$$

$$\lim_{t\rightarrow\infty}k_{t}\mu_{t} =0$$

La première condition est une condition d'optimalité standard. La seconde conditions est l'équation de mouvement du prix implicite $\mu.$ La dernière condition est la condition de transversalité et nous allons la discuter un peu plus loin. En tenant compte de la définition de $H$ et en utilisant $\lambda,$ ces conditions deviennent :

$$\frac{\partial H}{\partial c} =u^{\prime}\left( c_{t}\right) -\lambda_{t}=0$$ (D.13)

$$\Leftrightarrow\lambda_{t}=u^{\prime}\left( c_{t}\right)$$ (D.14)

$$\dot{\lambda} =-\frac{\partial H}{\partial k}\cdot e^{\theta t} +\theta\lambda\;$$

$$\dot{\lambda} =\lambda\cdot\left( n-f^{\prime}\left( k\right) +\theta\right)$$ (D.15)

$$\lim_{t\rightarrow\infty}k_{t}\cdot\left( \lambda_{t}\cdot e^{-\theta t}\right) =\lim_{t\rightarrow\infty}k_{t}\cdot\left( u^{\prime}\left( c_{t}\right) \cdot e^{-\theta t}\right)$$ (D.16)

$$=0$$ (D.17)

Les équations  $\left( \ref{CN1}\right)$ et $\left( \ref{CN2}\right)$ peuvent être combinées pour éliminer le multiplicateur $\lambda$ :

$$\dot{\lambda}=\frac{du^{\prime}\left( c_{t}\right) }{dt}=u^{\prime }\left( c_{t}\right) \cdot\left( n-f^{\prime}\left( k\right) +\theta\right)$$

$$\Rightarrow\frac{du^{\prime}\left( c_{t}\right) /dt}{u^{\prime}\left( c_{t}\right) }=n-f^{\prime}\left( k\right) +\theta$$ (D.18)

$$\Leftrightarrow\frac{u^{\prime\prime}\left( c_{t}\right) \cdot\le... ...t\right) }{u^{\prime}\left( c_{t}\right) }=n-f^{\prime}\left( k\right) +\theta$$

$$\Leftrightarrow\left[ \frac{c_{t}\cdot u^{\prime\prime}\left( c_... ...) }\right] \cdot\frac{\dot {c}_{t}}{c_{t}}=n-f^{\prime}\left( k\right) +\theta$$ (D.19)

Les conditions essentielles sont donc $\left( \ref{CN2bis}\right)$ et $\left( \ref{CN3}\right)$ :

$$\dot{\lambda} =\lambda\cdot\left( n-f^{\prime}\left( k\right) +\theta\right)$$

$$\Leftrightarrow\left[ \frac{c_{t}\cdot u^{\prime\prime}}{u^{\prime} }\right] \frac{\dot{c}_{t}}{c_{t}}=n-f^{\prime}\left( k\right) +\theta$$

$$\lim_{t\rightarrow\infty}k\cdot\left( \lambda_{t}\cdot e^{-\theta t}\right) =\lim_{t\rightarrow\infty}k\cdot\left( u^{\prime}\left( c_{t}\right) \cdot e^{-\theta t}\right) .$$

La première de ces conditions doit être vérifiée à tout point du sentier de consommation optimal. On l'appelle la règle de Keynes-Ramsey.