D.2 Consommation optimale

Le planificateur central cherche à maximiser le bien-être social à chaque moment du temps. Il doit donc déterminer un sentier de consommation optimale qui tient compte des caractéristiques de l'économie. Ce sentier doit établir, à chaque moment, un arbitrage entre la consommation présente et la consommation future qui va profiter de l'investissement et donc de l'épargne. Il doit résoudre le problème suivant $\left( s=0\right)$:

$$\max_{c_{t}}U_{0}=\int_{0}^{\infty}u\left( c_{t}\right) \cdot e^{-\theta t}\cdot dt$$ (D.5)

$$S.\grave{a}.\;\;\;\left\{ \begin{array}[c]{l} \dot{k}_{t}=f\lef... ...ft( 0\right) =k_{0}\\ \forall t,\;k_{t}\geq0,c_{t}\geq0 \end{array} \right.$$

La solution de ce problème est un sentier de consommation optimale : $c^{\ast}\left( t\right) =c_{t}^{\ast}.$ C'est donc une fonction du temps et non une valeur unique. Nous avons donc un problème de commande optimale. On résoud ce type de problème en appliquant le principe de maximum de Pontryagin.