D.1 Le problème de Ramsey(1928)

Ramsey a cherché à déterminer l'épargne qu'une nation doit effectuer dans une perspective dynamique. La population, $N_{t},$ croît au taux $n.$ On peut la voir comme une famille unique ou comme des familles identiques se développant dans le temps. Chaque adulte offre une unité de main d'oeuvre et donc, l'offre de travail est égale à la population. La production est réalisée à partir de cette main d'oeuvre et du capital, $K_{t}.$ Il n'y a pas de progrès technique. Le produit est soit consommé, soit investi :

$$Y_{t}=F\left( K_{t},N_{t}\right) =C_{t}+\dot{K}_{t}$$ (D.1)

Nous exclurons la dépréciation du capital. La fonction $F\left( \cdot\right)$ est néo-classique. En termes per capita, cette équation devient :

$$f\left( k\right) =c+\dot{k}+nk\Leftrightarrow\dot{k}=f\left( k\right) -c-nk$$ (D.2)

L'économie démarre avec un capital/tête $k_{0}>0.$ Au moment $s$ l'utilité instantanée de la famille est donnée, en valeurs courantes, par :

$$u\left( c_{s}\right) \geq0,\;u^{\prime}\geq0,\;u^{\prime\prime}\leq0,$$ (D.3)

on l'appelle aussi la fonction de ``félicité" (ou de ``bonheur"). A ce moment $s,$ l'utilité d'une consommation qui a lieu à un moment $t>s$ est donnée en valeurs actualisées par :

$$u\left( c_{t}\right) \cdot e^{-\theta\left( t-s\right) }$$

où $\theta>0$ est la préférence pour le présent ou le taux d'escompte subjectif. Si l'on considère l'utilité totale jusqu'à la fin des temps (l'infini), on peut l'écrire, en temps continu et en valeurs actualisées au moment $s$ :

$$U_{s}=\int_{s}^{\infty}u\left( c_{t}\right) \cdot e^{-\theta\left( t-s\right) }\cdot dt$$ (D.4)