D.4 Règle de Keynes-Ramsey

Cette règle est plus facile à comprendre quand on voit le temps en termes discrets et si l'on considère le problème d'allocation de consommation entre les moments $t$ et $t+1$ par le planificateur central. S'il diminue la consommation à la date $t$ de $dc,$ il cause une perte d'utilité de $u^{\prime}\left( c_{t}\right) dc.$ Néanmoins, cette diminution de la consommation permet un investissement plus élevé et donc une production plus élevée qui pourra être consacrée à la consommation en $t+1$: $dc\left( 1+f^{\prime}\left( k\right) \right) .$ La population augmentant au taux $n$ pendant cette période, la consommation/tête en $t+1$ peut augmenter de :

$$\frac{dc\cdot\left( 1+f^{\prime}\left( k\right) \right) }{1+n}.$$

Cette consommation supplémentaire implique alors une croissance d'utilité en $t+1$ (en valeur actualisée en $t$) de :

$$\frac{1}{1+\theta}\cdot u^{\prime}\left( c_{t+1}\right) \cdot\frac {dc\cdot\left( 1+f^{\prime}\left( k\right) \right) }{1+n}.$$

Or, le long du sentier de consommation optimale, cette réallocation ne doit pas améliorer (ni détériorer) le bien-être globale :

$$u^{\prime}\left( c_{t}\right) dc =\frac{1}{1+\theta}\cdot u^{\prime }\left( c_{t+1}\right) \cdot\frac{dc\cdot\left( 1+f^{\prime}\left( k\right) \right) }{1+n}$$

$$\Rightarrow u^{\prime}\left( c_{t}\right) =\frac{1}{1+\theta}\cdot u^{\prime}\left( c_{t+1}\right) \cdot\frac{1+f^{\prime}\left( k\right) }{1+n}$$

$$\Leftrightarrow\frac{\frac{1}{1+\theta}\cdot u^{\prime}\left( c_... ...t) }{u^{\prime}\left( c_{t}\right) }=\frac{1+n}{1+f^{\prime }\left( k\right) }$$ (D.20)

$$\Leftrightarrow TMS_{t+1,t}=TMST_{t+1,t}$$

où les indices envoient aux dates des consommations. Si le délais entre $t$ et $t+1$ est suffisamment court, cette condition est équivalente à la condition  $\left( \ref{CN2bis}\right) .$ La règle de Keynes-Ramsey nous indique que la consommation augmente - reste constante - diminue selon que le produit marginal du capital (net de la croissance de la population) est plus - autant - moins élevé que le taux de préférence pour le présent. Cela est assez intuitif : plus le produit marginal du capital est élevé par rapport au taux de préférence pour le présent, plus est-il intéressant de réduire la consommation présente pour profiter d'une consommation future plus élevée. Si ce produit marginal est fort initialement, la consommation sera croissante dans le temps sur le sentier optimal. Le rôle de l'élasticité de substitution $\left( \ref{CN3}\right)$apparaît à ce niveau : plus élevée est cette élasticité, plus facile il est de sacrifier la consommation présente pour profiter de la consommation future et donc, pour un niveau excédentaire du produit marginal (par rapport à la préférence pour le présent), plus fort est le taux de variation de la consommation.