Parfois un joueur qui doit prendre une décision ne connaît pas les choix effectués par les joueurs qui ont joué avant lui.

Dans ce cas, il ne connaît pas parfaitement le noeud auquel il se situe.

Si dans le jeu de notre exemple le terroriste n'est pas capable de déterminer la direction prise par le pilote, il n'est pas capable de distinguer le noeud $II_{D}$ du noeud $II_{P}.$

Nous dirons alors que ces deux noeuds appartiennent au même ensemble d'information.

Un ensemble d'information d'un joueur est la collection de tous les noeuds auxquels il doit choisir une action. Quand le joueur atteint un de ses ensembles d'information, il connaît parfaitement à quel ensemble il se situe. Mais si cet ensemble contient plus d'un noeud, il n'est pas capable de distinguer entre ces noeuds.

On représente un ensemble d'information en reliant par une courbe en pointillée les noeuds qui appartiennent à cet ensemble.

Dans le cas de notre exemple :

Nous avons alors un jeu en information imparfaite.

Définition 6   Un jeu en forme extensive est

1.

un jeu avec information imparfaite si au moins un ensemble d'information contient plus d'un noeud;

2.

un jeu en information parfaite si chaque ensemble d'information est réduit à un seul noeud.

Pour pouvoir analyser des jeux en information imparfaite, nous devons adapter le concept de stratégie pour tenir compte de l'incapacité des joueurs à distinguer entre les noeuds d'un même ensemble d'information.

Dans un jeu avec information imparfaite, une stratégie d'un joueur doit préciser une action à choisir pour chaque ensemble d'information de ce joueur.

Dans un jeu avec information parfaite, cette définition de la stratégie coïncide avec celle que nous avons déjà introduite, car dans ce cas, chaque ensemble d'information correspond à un noeud de décision du joueur.

La présence d'une information imparfaite modifie aussi la définition des sous-jeux.

En fait, le terroriste ne pouvant plus distinguer $II_{D}$ de $II_{P},$ on ne peut plus considérer que nous avons deux sous-jeux différents à résoudre séparément.

Un sous-jeu est un ensemble d'information qui contient un seul noeud et tous les noeuds qui en découlent, tant que ces noeuds n'appartiennent pas à un ensemble d'information contenant un autre noeud qui ne peut être atteint à partir du noeud initial.

Dans notre exemple $II_{P}$ appartient à un ensemble d'information qui contient aussi $II_{D}$ et ce dernier ne peut découler de $II_{P}.$

Dans le jeu suivant $A,\,D$ et $G$ sont des noeuds dont démarrent des sous-jeux.

$B,$ $C,$ $E$ et $F$ ne sont pas des noeuds initiaux de sous-jeux car l'ensemble d'information qui contient $E$ contient aussi $F$ et $F$ ne découle pas de $B$ et $E$ ne peut découler de $C.$

Dans le jeu en information imparfaite du pilote et du terroriste, les stratégies du pilote contiennent de nouveau une seule action

$$S^{P}=\left\{ D,P\right\} .$$

Pour le terroriste, chaque stratégie doit spécifier une action pour chaque ensemble d'information.

Mais maintenant, il n'a plus qu'un seul ensemble d'information et donc chaque stratégie doit spécifier une seule action pour $II_{D}$ et $II_{P}$

$$S^{T}=\left\{ B,N\right\} .$$

L'ensemble de stratégies du jeu ne contient plus que quatre é léments

$$S=\left\{ (D,\underset{\left( II_{D}+II_{P}\right) }{B}),\;\left( D,N\right) ,\;\left( P,B\right) ,\,\left( P,N\right) \right\} .$$