A.2 La règle d'or de l'accumulation du capital

Étant données les valeurs de $n$ et de $\delta,$ chaque valeur de $s$ correspond à une valeur unique $k^{*}>0$ :

$$k^{*}\left( s\right) ,\;\frac{dk^{*}\left( s\right) }{ds}>0\;$$ (A.8)

$$\;\; s\cdot f\left( k^{*}\left( s\right) \right) =\left( n+\delta\right) k^{*}\left( s\right)$$ (A.9)

$$c^{*}\left( s\right) =\left( 1-s\right) \cdot f\left( k^{*}\left( s\right) \right)$$

$$c^{*}\left( s\right) =f\left( k^{*}\left( s\right) \right) -\left( n+\delta\right) k^{*}\left( s\right)$$ (A.10)

Cette fonction est représentée dans la figure suivante :

Figure A.1: La règle d'or

La valeur de croissance équilibrée de $c^{\ast}$ est d'abord croissant avec $s$ (car $s$ permet de financer l'investissement et donc la demande) et décroissant avec $s$ ensuite (car $s$ réduit le demande en réduisant directement la consommation). Donc il existe une valeur optimale de $s$ qui maximise $c^{\ast}.$

$$s_{or} =\arg\max c^{*}\left( s\right) ,$$

$$\frac{dc^{*}}{ds} =\left[ f\,^{\prime}\left( k^{*}\right) -\left( n+\delta\right) \right] \cdot\frac{dk^{*}}{ds}=0$$

$$\Rightarrow\fbox{$f\,^{\prime}\left( k_or\right) =\left( n+\delta \right) $}$$ (A.11)

$$k_{or} =k^{*}\left( s_{or}\right)$$

$$c_{or} =f\left( k_{or}\right) -\left( n+\delta\right) \cdot k_{or}$$ (A.12)

La règle A.11 est la règle d'or de l'accumulation du capital. Elle correspond à une variation du produit/tête qui compense exactement la dépréciation globale du capital/tête. $s_{or}$ est le taux d'épargne qui est dynamiquement efficace. Grâce à ce taux d'épargne, nous avons un sentier de croissance équilibré qui maximise la consommation/tête et donc, le bien-être social. Considérons les trois cas suivant : $s_{1}<s_{or}<s_{2}.$

Comportements hors-équilibre I

$$s_{1}<s_{or}<s_{2}\Rightarrow k_{1}^{*}<k_{or}^{*}<k_{2.}^{*}$$

$\bullet$ Si à partir de $\left( s_{2}>s_{or},k_{2}^{*},c_{2}\right) ,$ $s_{2}\rightarrow s_{or}:$ $\rightarrow$ cette variation va d'abord impliquer une croissance de $c$ étant donné $k_{2}^{\ast}$ et nous allons avoir $\dot{k}<0;$ $\rightarrow$ $k$ va donc commencer à baisser dans le temps et $c$ va baisser aussi continûment pour atteindre $c_{or};$ $\rightarrow$ or, $c_{or}>c_{2}$ par définition du premier terme et donc la consommation/tête sera supérieure à $c_{2}$ à chaque moment de la trajectoire (cf. $c_{3}$) et à la nouvelle solution de croissance équilibrée. $\rightarrow$ Une économie avec un taux d'épargne $s_{2}$ est donc dynamiquement inefficace car il est possible d'améliorer la consommation/tête à chaque point du temps.

Comportements hors-équilibre II

$\bullet$ Si $s_{1}\rightarrow s_{or}$ : $\rightarrow$ la consommation/tête va d'abord baisser et elle va rester inférieur à $c_{1}$ pendant un certain temps, tout en augmentant vers $c_{or};$ $\rightarrow$ en définitive, elle sera supérieure à $c_{1}<c_{or}$; $\rightarrow$ néanmoins, l'effet total sur le bien-être dépendra de l'arbitrage des consommateur entre la consommation présente et future.

Convergence I : $s_{2}\rightarrow s_{or}$

Convergence II : $s_{1}\rightarrow s_{or}$