D.8 Comportement local autour du sentier d'équilibre

En utilisant le développement de Taylor, nous pouvons linéariser ce système autour du sentier d'équilibre $\left( c^{\ast},k^{\ast }\right) .$ Soit le système

$$\dot{c} =\phi\left( c,k\right)$$

$$\dot{k} =\omega\left( c,k\right)$$

Nous pouvons alors linéariser ce système autour de $\left( c^{*},k^{*}\right)$ en utilisant le développement de Taylor :

$$\dot{c} =\phi\left( c^{*},k^{*}\right) +\phi_{c}\left( c^{*} ,k^{*}\righ... ...c-c^{*}\right) +\phi_{k}\left( c^{*},k^{*}\right) \left( k-k^{*}\right) +o_{1}$$

$$\dot{k} =\omega\left( c^{*},k^{*}\right) +\omega_{c}\left( c^{*} ,k^{*}\... ...c^{*}\right) +\omega_{k}\left( c^{*},k^{*}\right) \left( k-k^{*}\right) +o_{2}$$

Si l'on est proche de $\left( c^{*},k^{*}\right) ,$ $o_{1}\simeq0$ et $o_{2}\simeq0.$ De plus, par définition d$^{\prime}$un SCE les premiers termes $\phi\left( c^{*},k^{*}\right)$ et $\omega\left( c^{*} ,k^{*}\right)$ sont aussi nuls. Ce système devient alors :

$$\dot{c} =\phi_{c}\left( c^{*},k^{*}\right) \left( c-c^{*}\right) +\phi_{k}\left( c^{*},k^{*}\right) \left( k-k^{*}\right)$$

$$\dot{k} =\omega_{c}\left( c^{*},k^{*}\right) \left( c-c^{*}\right) +\omega_{k}\left( c^{*},k^{*}\right) \left( k-k^{*}\right)$$

$$\Leftrightarrow\left( \begin{array}[c]{l} \dot{c}\\ \dot{k} ... ...}[c]{l} \left( c-c^{*}\right) \\ \left( k-k^{*}\right) \end{array} \right)$$

un système d'équations différentielles linéaires. Dans notre cas :

$$\phi\left( c,k\right) =\sigma\left( c\right) \cdot c\cdot\left( f\,^{\prime}\left( k\right) -\theta-n\right)$$

$$\omega\left( c,k\right) =f\left( k\right) -c-nk$$

$$\phi_{c}\left( c^{*},k^{*}\right) =0, \quad\phi_{k}\left( c^{*} ,k^{*}\right) =-\left[ -f^{\prime\prime}\left( k^{*}\right) c^{*}\right] \cdot\sigma\left( c^{*}\right) \equiv-\beta<0$$

$$\omega_{c}=-1, \quad\omega_{k}\left( c^{*},k^{*}\right) =f^{\prime }\left( k^{*}\right) -n$$

$$\dot{c} =-\beta\left( k-k^{*}\right)$$ (D.37)

$$\dot{k} =\left( f^{\prime}\left( k^{*}\right) -n\right) \left( k-k^{*}\right) -\left( c-c^{*}\right)$$

$$\dot{k} =\theta\left( k-k^{*}\right) -\left( c-c^{*}\right)$$ (D.38)

On peut étudier la solution de ce système en le réduisant en une seule équation de second degré en $k$ :

$$\frac{d^{2}k}{dt^{2}} =\frac{d\dot{k}}{dt}=\frac{\partial\dot{k}}{\partial k}\dot{k}+\frac{\partial\dot{k}}{\partial c}\dot{c}$$

$$=\theta\dot{k}-\dot{c}$$

$$=\theta\dot{k}+\beta\left( k-k^{*}\right)$$ (D.39)

$$=\theta\dot{k}+\beta k-\beta k^{*}$$ (D.40)

$$\fbox{$\Leftrightarrow\ddot{k}-\theta\dot{k}-\beta k=-\beta k^{*}$}$$ (D.41)

Nous avons donc une équation différentielle de second degré non-homogène :

$$\fbox{$\Leftrightarrow\ddot{k}-\theta\dot{k}-\beta k=-\beta k^{\ast}$}$$

En utilisant la solution générale $k=Ae^{\lambda t}\neq0,$ la forme homogène de cette équation devient :

$$\dot{k} =\lambda Ae^{\lambda t},\quad\ddot{k}=\lambda^{2}Ae^{\lambda t},$$

$$\Rightarrow\lambda^{2}Ae^{\lambda t}-\theta\left( \lambda Ae^{\lambda t}\right) -\beta\left( Ae^{\lambda t}\right) =0$$

$$\Leftrightarrow Ae^{\lambda t}\left( \lambda^{2}-\theta\lambda -\beta\right) =0$$

$$\Leftrightarrow\lambda^{2}-\theta\lambda-\beta=0.$$

C'est l'équation caractéristique. Elle possède deux racines :

$$\Delta =\theta^{2}+4\beta>0$$

$$\lambda^{\prime} =\frac{\theta-\sqrt{\theta^{2}+4\beta}}{2}<0$$

$$\lambda^{\prime\prime} =\frac{\theta+\sqrt{\theta^{2}+4\beta}}{2}>0$$

La solution générale de cette équation est donc :

$$k_{t}^{g}=A_{1}\cdot e^{\lambda^{\prime}t}+A_{2}\cdot e^{\lambda ^{^{\prime\prime}}t}$$

La solution particulière de l'équation  $\left( \ref{equa2k}\right)$ peut être obtenue sous la forme d'une solution constante :

$$k_{t} =\mu=Cste\Rightarrow\dot{k}=0,\,\,\,\ddot{k}=0$$

$$\Rightarrow\mu k=\mu k^{*}\Leftrightarrow k_{t}^{p}=k^{*}\quad\left( \text{ c'est normal!}\right)$$

La solution complète est donc :

$$k_{t} =k_{t}^{g}+k_{t}^{p}$$

$$\Leftrightarrow k_{t}-k^{\ast}=A_{1}\cdot e^{\lambda^{\prime}t}+A_{2}\cdot e^{\lambda^{^{\prime\prime}}t}$$ (D.42)

En $t=0,$ $k_{0}$ est donné par l'histoire de l'économie et donc nous devons avoir :

$$k_{0}-k^{*}=A_{1}e^{0}+A_{2}e^{0}=A_{1}+A_{2}$$

De plus, comme $\lambda^{\prime\prime}$ est positive, $k-k^{*}$ ne convergera vers 0 $\left( \Leftrightarrow k\rightarrow k^{*}\right)$ que si et seulement si

$$A_{2}=0\Rightarrow A_{1}=k_{0}-k^{*},$$

sinon le système explose. Par conséquent, nous devons avoir autour du SCE :

$$\fbox{$\Rightarrow k_t=k^{*}+\left( k_0-k^{*}\right) e^{\lambda^{\prime}t}$}$$ (D.43)

La vitesse de convergence du système est donnée par

$$\left\vert \lambda^{\prime}\right\vert =\left\vert \frac{\theta-\... ...prime \prime}\left( k^{*}\right) c^{*}\right] \cdot\sigma\left( c^{*}\right)$$

Donc $\left\vert \lambda^{\prime}\right\vert$ est croissant avec $f^{\prime\prime }\left( \cdot\right)$ et $\sigma,$ il est décroissant en $\theta.$ Quand les consommateurs sont plus patients, ils acceptent de baisser la consommation au début du temps et l'accumulation se fait plus rapidement. D'où une convergence plus rapide de l'économie vers le SCE. Les variations de $f^{\prime\prime}$ et de $\theta$ influencent la vitesse de convergence mais aussi les caractéristiques du SCE $\left( k^{\ast},c^{\ast}\right) .$