8.1 Le modèle ``AK"

C'est un des modèles les plus simples qui permettent une croissance endogène (dans le sens où les politiques influencent les taux de croissance). Ce modèle peut être dérivé très facilement de celui de Solow (chapitre 2) sans progrès technique $\left( \dot{A}/A=0\right)$ mais avec $\alpha=1\,:$

$$Y=AK$$ (8.1)

Cette équation donne donc son nom à ce modèle (Romer(1987) et Rebelo (1991)). Elle implique que la production est proportionnelle au stock de capital. Le capital s'accumule selon l'équation habituelle:

$$\dot{K}=sY-\delta K$$ (8.2)

Nous supposerons $n=0,$ pour simplifier ($K$ devient donc aussi le capital/tête en normalisant la population à $N=1$). Nous pouvons donc considérer le diagramme de Solow qui se construit de la même manière que dans le chapitre 2.

Figure 8.1: Diagramme de Solow dans le modèle AK

Si au moment de démarrage de l'économie, on a $sY>\delta K$, le stock de capital croît et cette croissance persiste dans le temps: l'investissement total est constamment supérieur à la dé préciation. La croissance ne s'arrête jamais. Comment cela est-il possible? Dans le modèle de Solow, chaque unité de capital ajoutée grâce à l'épargne contribue de moins en moins à la production du fait des rendements décroissants $\left( \alpha<1\right)$. Dans ce modèle, nous avons des rendements constants $\left( \alpha=1\right)$ : le produit marginal de chaque unité de capital supplémentaire est toujours $A$. On peut clairement voir cela en réécrivant l'équation  $\left( \ref{akinvest}\right)$:

$$\gamma_{K}=\frac{\dot{K}}{K}=\frac{sY}{K}-\delta=sA-\delta=Cste\quad\forall K.$$

Et, avec la dérivée logarithmique de la production, on obtient

$$\gamma_{Y}=\gamma_{K}=sA-\delta.$$

Le taux de croissance du PIB est une fonction croissante du taux d'investissement. Par conséquent, les politiques publiques qui augmentent ce taux d'investissement augmentent aussi le taux de croissance du PIB et cela, de manière permanente. Ce résultat peut être interprété dans le contexte du modèle de Solow avec $\alpha<1$. Dans ce cas la droite $sY$ est une courbe est le SCE est atteint en $K^{\ast}$ quand $sY=\delta$ $\left( \text{car }n=0\right) .$ Le paramètre $\alpha$ mesure la courbure de $sY$ : quand $\alpha$ est faible alors la courbure est forte et $sY$ croise $\delta$ à une valeur faible de $K^{\ast}$. Quand $\alpha$ augmente, la courbure se réduit et l'intersection a lieu pour une valeur plus élevée de $K^{\ast}.$ A partir d'un $K_{0}<K^{\ast}$ initial donné, la transition vers le SCE prend de plus en plus de temps. Le cas $\alpha=1$ est un cas limite où la dynamique de transition ne s'arrête jamais. Ainsi, le modèle $AK$ génère la croissance de manière endogène, même si la population ou le niveau technologique ne croît dans le modèle.